Johann Friedrich Vieweg wurde am 11. März 1761 als Sohn des Schneidermeisters und späteren Stärkefabrikanten Johann Valentin Vieweg und der Johanna Sophie, geb. Bechbach in Halle an der Saale geboren. Nach seiner Ausbildung in der Haaleschen Waisenhausbuchhandlung arbeitete Vieweg zunächst in Hamburg, bevor er 1784 die Geschäftsleitung der Verlagshauses Mylius in Berlin übernahm. Zwei Jahre später gründete Vieweg einen eigenen Verlag, in dem unter anderem Goethes "Hermann und Dorothea" erschien. 1795 folgt die Heirat mit Sophie Elisabeth Lucie Charlotte Campe, einer Tochter des Schriftstellers Joachim Heinrich Campe (1746-1818).

Im Frühjahr 1799 siedelte Vieweg nach Braunschweig über. Er war vom dortigen Herzog, Karl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig, eingeladen worden, an der Schaffung eines Mittelpunktes des deutschen Buchhandels in diesem Fürstentum mitzuwirken.

1825 nahm Vieweg seinen ältesten Sohn Eduard (1797-1869) in die Firma auf, die seitdem den Namen "Friedrich Vieweg & Sohn" führte. Viewegs Sohn Friedrich d. J. (1808-1888) gründete eine Verlagsbuchhandlung in Paris; seine Tochter Blanca heiratete den Braunschweiger Verlagsbuchhändler George Westermann.

Am 25. Dezember 1835 starb Friedrich Vieweg.